△有理四周体具有两组“一连”解和59组单独解
得益于盘算机硬件的发展，如今只用MacBook Pro和几台至强CPU电脑，在几天内就完成了对全部解的搜刮。
效果证实，那两位数学家在20多年前实在已经得到了完备的答案。
什么是有理四周体？
四周体，顾名思义，就是四个三角形围成的立体图形。
四周体每两个面之间都构成一个二面角。四周体有6条棱，因此有6个二面角。
△四周体中有6个二面角（图片来自Poonen手稿）
有理四周体是指四周体中的6个二面角都是有理数角度（与180°角的比值是有理数）。
就似乎三角形的内角和公式数学公式: a+b+c=180°一样，四周体的6个二面角之间也有一种关系，只不外这种关系要复杂得多。
界说θij为四周体第i个面与第j个面的夹角（显然θ ij =θ ji ），那么这6个二面角之间的关系可以行列式表现为：
由于是有理四周体，以是 θij =Qπ（弧度），Q是有理数。
我们把行列式睁开后，会得到一个包罗17项的方程，而且方程中另有余弦函数，求解难度很大。
但是数学家们想到了一个奇妙的化简方法。
欧拉公式
接下来，数学家们用到了“最美数学公式”—— 欧拉公式——来简化方程。
欧拉公式将复数（实数+虚数）的指数函数与三角函数接洽起来：
i是虚数，即-1的平方根。假如用图像的方式明白欧拉公式，那就是：
很显然，无论θ值怎样变革，e iθ 到0点的间隔肯定是1。
以是假如我们界说复数：
那么这个复数肯定是在以原点为圆心，半径为1的圆上。
△方程z 5 =1的5个解都在单元圆上
如今，方程里的三角函数可以用复数来替换了：
如许，上面的行列式从一个三角函数方程酿成了一个多项式方程：
但题目也随之而来，这个方程统共有 105项，而且是一个 6元方程！不外好消息是，我们知道这6个未知数都在谁人半径为1的圆上（称作 “单元根”）。
奇妙的是，复数z ij 与x轴的夹角θ ij 恰好就是四周体的二面角，因此这些解不但在圆上，与x轴夹角也必须是π弧度的有理数倍。
1995年，在谁人没有性能强劲PC的年代，来自UC伯克利的 Poonen和滑铁卢大学的 Rubinstein通过插入六个有理数的组合，来推测这个方程的解，他们统共找到了59组。
如许做带来一个题目是： 可以找到解，但是不能包管把全部解一扫而空。
一次偶尔的碰撞
题目一搁置就是20多年，直到客岁3月，Poonen到场了一次讲座。
在那一次的讲座上，研究数论的数学家Kedlaya先容了本身的工作：搜刮了差别多项式方程的单元根。
这不就和探求“有理二面体”的题目等价吗？
Poonen很快就给Kedlaya发邮件，阐明本身的来意：你们研究的“正是我在1990年代必要的东西”。
收到邮件后，Kedlaya与另一位研究单元根的数学家Kolpakov取得了接洽。另一边，Poonen也接洽上了他当年的的老搭档Rubinstein。
△联手办理“有理四周体”的四位数学家
四人敏捷组团，开始动手工作。
即便如今的盘算机性能相比20多年条件升巨大，但想要找到一个6元105向方程的全部有理数解，照旧不大概想象的。
必须要把搜刮范围进一步缩小。
起首，他们 “化整为零”。
在新论文中他们证明白，这个105项的复杂多项式方程可以用多个更简朴的多项式表现，把这个6元方程转化成了数百个简朴方程的聚集。
探求这些较简朴方程的单元根，比原方程的搜刮范围小得多。而且由于简朴的方程与复杂的方程之间的对应关系，找到一个方程的根，能资助找到另一个方程的根。
搜刮上限的题目办理了，但搜刮的隔断照旧太小，搜刮空间依然很巨大，工作无法继承。
然后，他们的第二步是，使用 对称性进一步压缩搜刮空间。
他们知道方程的解具有肯定的对称性，假如在区间的一部门上有解，那么在区间的另一部门上也必须有解。
如许一来，他们就可以开辟出新算法，使用这种对称性布局来更有用地举行搜刮。
颠末几个月的积极，他们完成了使命的分解。撤除编程，整个搜刮只占用了几颗酷睿与至强处置惩罚器数小时的时间。
盘算机终于找到了全部特别解，真的只有59个！（别的另有两组“一连”解。）
如今，他们的算法已经公布在GitHub上。
2020年11月，四个数学家把论文发布到arXiv上，44年后终于用盘算机的方法完成了康威的愿望。
也算是告慰了康威的在天之灵，他们在论文首页上写着：“In memory of John H. Conway”。
后续
办理这个题目后，Poonen本人亲身撰写了一篇科普文章，还和西蒙斯基金会团结录制了一段科普视频。
Poonen列c出了三个紧张的四周体题目，最早的要追溯到2300多年前 亚里士多德的疑问： 什么样的四周体能堆满整个空间？
1900年，数学家 大卫·希尔伯特给出了另一个疑问： 什么样的四周体可以颠末有限次的切割重组为一个等体积的立方体？
至于第三个题目，就是刚刚办理的有理二面体题目。而前两个题目，人们如今还不知道答案。
假如非要问这个有理二面体有什么现实代价，Poonen给出了一个风趣的案例：
假设我们要在一个星球上制作N个都会，让这N个都会每两个之间的间隔都是有理数，那么我们应怎样规划？
（注：指都会之间的球面间隔与赤道周长的比值是有理数。）
△如安在星球上制作两两间隔皆为有理数的都会（图片来自Poonen手稿）
由于有理四周体题目的办理，如今这个题目有两个方案：
一个是让赤道上匀称分布几个都会，再把剩下两座都会放在南极北极。
而假如想让都会在星球上分布得更匀称一点，也就是上图右边的方法，那么N不能凌驾30，否则无解。
— 完—
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发表于 2020-12-24 03:28:22
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